Non esiste un sistema elettorale perfetto. Questa non è un’opinione politica o una rassegnazione cinica, ma un teorema matematico dimostrato rigorosamente nel 1951 da Kenneth Arrow, un risultato che gli è valso il Premio Nobel per l’economia nel 1972. Eppure continuiamo a votare, a litigare su quale sistema sia “migliore”, ignorando che la perfezione è letteralmente impossibile. Questa è la storia di come la matematica ha demolito le nostre illusioni sulla democrazia e di come dobbiamo convivere con questa conoscenza.

Il problema è più profondo di quanto sembri. Quando votiamo, non stiamo semplicemente contando preferenze: stiamo tentando di aggregare volontà individuali in una volontà collettiva coerente. Ma Arrow ha dimostrato che qualsiasi meccanismo di aggregazione con più di due alternative deve necessariamente violare almeno uno dei suoi cinque assiomi fondamentali: dominio universale illimitato, ordinamento sociale transitivo, efficienza paretiana, indipendenza dalle alternative irrilevanti e non-dittatura. La democrazia è matematicamente condannata all’imperfezione. Questa rivelazione ha conseguenze pratiche immediate: l’elezione del 2000 in Florida (Bush vs Gore vs Nader, decisa da 537 voti su 6 milioni con Nader a 97.488 voti) o Burlington nel 2009 non sono aberrazioni statistiche ma manifestazioni inevitabili di paradossi intrinseci ai sistemi di voto.

Ma c’è una via d’uscita, sottile e controintuitiva: i sistemi basati su rating (cioè dove ogni alternativa riceve un punteggio indipendente, come 1–5 stelle) invece che su classifiche (cioè quelli in cui ogni votante ordina le alternative (A > B > C)) possono sfuggire al teorema di Arrow. Sistemi come l’approval voting, lo score voting e i loro derivati non rappresentano un semplice compromesso all’interno del quadro tradizionale delle regole di scelta collettiva, ma un vero e proprio cambio di paradigma. Essi abbandonano la logica della preferenza ordinata tipica dei sistemi soggetti al teorema di Arrow, adottando invece una concezione valutativa e continua della scelta, in cui l’intensità della preferenza diventa parte integrante del processo decisionale: valutare i candidati in modo indipendente piuttosto che ordinarli. La storia inizia nel 1785 con il Marchese de Condorcet e Jean-Charles de Borda che litigavano all’Académie des Sciences française, continua con Arrow che distrugge le loro speranze nel 1951, e culmina con sistemi moderni adottati a St. Louis e (temporaneamente) Fargo che promettono di aggirare l’impossibilità matematica.

L’illusione del sistema maggioritario e l’effetto spoiler che decide le presidenze

Il sistema elettorale più diffuso al mondo è anche il più primitivo: first-past-the-post (FPTP), o maggioranza semplice. Vince chi ottiene più voti, punto. Sembra ovvio, quasi banale. È il sistema usato nel Regno Unito, negli Stati Uniti, in Canada, in India e in circa altri 50 paesi (meno del 26% delle nazioni del mondo). È anche profondamente, irrimediabilmente fallato.

Il problema fondamentale si chiama spoiler effect (effetto spoiler): un candidato che non può vincere può comunque determinare chi vince sottraendo voti a un candidato maggiore. Questa è una caratteristica che altera regolarmente gli esiti delle elezioni. L’esempio canonico è quello della Florida nel 2000: George W. Bush sconfisse Al Gore per 537 voti su quasi 6 milioni espressi (0,009% di margine). Ralph Nader, candidato del Partito Verde, ottenne 97.488 voti. I sondaggi d’uscita mostrano che il 47% degli elettori di Nader avrebbe votato Gore in assenza di Nader, il 21% Bush, e il resto si sarebbe astenuto. Matematicamente, Nader “rubò” l’elezione a Gore. Senza Nader, o senza la confusa butterfly ballot (scheda a farfalla) di Palm Beach County che indirizzò erroneamente oltre 2.000 voti da Gore a Pat Buchanan, Gore sarebbe diventato presidente.

L’analisi accademica di Herron e Lewis (2007) usando dati disaggregati conferma: almeno il 40% degli elettori di Nader in Florida avrebbe votato per Bush senza Nader, ma il restante 60% “rovinò” l’elezione per Gore. In uno scontro diretto, Gore era preferito a Nader 54% contro 46%. Il candidato preferito dalla maggioranza assoluta non vinse perché il sistema di voto non riesce a catturare preferenze di secondo ordine.

Questo evento non è isolato. Nel Regno Unito, il voto frammentato tra Laburisti e Liberal Democratici ha sistematicamente avvantaggiato i Conservatori. Nel 2010, i Liberal Democratici ottennero il 23% dei voti nazionali ma solo l’8,7% dei seggi parlamentari – una sproporzione mostruosa. In molti collegi elettorali, il centro-sinistra si divise tra Laburisti e Lib Dem permettendo vittorie Conservative. Nel 2019, durante l’era Brexit, l’analisi “bloc politics” ha dimostrato che i Conservatori controllavano circa il 67% del blocco Leave, mentre Laburisti e Lib Dem dividevano equamente il blocco Remain. Risultato: maggioranza conservatrice schiacciante nonostante una popolazione quasi equamente divisa.

In Canada, la frammentazione NDP/Liberal è una costante. L’analisi CBC del 2019 ha identificato 87 collegi dove il voto diviso ha influenzato i risultati, con 32 seggi dove la divisione Liberal-NDP ha aiutato i Conservatori. Nell’elezione federale del 2025, l’NDP è crollato da 24 a 7 seggi perché gli elettori progressisti, terrorizzati da una vittoria conservatrice sotto Pierre Poilievre, hanno votato strategicamente per i Liberali. Il paradosso: il sistema FPTP costringe gli elettori a mentire sulle loro vere preferenze per evitare il peggiore risultato possibile, insomma, votare il meno peggio.

Le statistiche globali sono eloquenti. Solo 3 paesi OECD usano ancora FPTP per le elezioni nazionali: Regno Unito, Canada e Stati Uniti. In Europa, 40 dei 43 paesi usano qualche forma di rappresentazione proporzionale; il Regno Unito è l’unico paese europeo con FPTP per il parlamento nazionale. Il Human Freedom Index 2024 mostra che 9 dei top 10 paesi usano PR (rappresentazione proporzionale); il Democracy Index 2023 conferma lo stesso andamento. La correlazione tra FPTP e bassa qualità democratica non è casuale: è matematicamente inevitabile.

La rivoluzione francese della teoria del voto: Condorcet, Borda e il paradosso dei cicli

La teoria moderna dei sistemi di voto nasce in Francia negli anni 1780, in pieno Illuminismo, quando due brillanti matematici dell’Académie des Sciences si scontrarono su quale fosse il metodo corretto per aggregare preferenze.

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marchese de Condorcet (1743-1794) era un filosofo-matematico illuminista che morì in prigione durante il Terrore rivoluzionario. Nel 1785 pubblicò il monumentale “Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix” – 304 pagine dense di teoria probabilistica applicata alle decisioni collettive. La sua idea era elegante e intuitiva: un candidato dovrebbe vincere se, e solo se, batte tutti gli altri candidati in confronto testa a testa a maggioranza. Questo candidato di Condorcet (o Condorcet winner) rappresenta la vera “volontà del popolo”.

Matematicamente: sia N = {1, 2, …, n} l’insieme degli elettori, X = {x, y, z, …} l’insieme dei candidati. Per ogni coppia di candidati x, y ∈ X, contiamo |{i ∈ N : x Rᵢ y}| dove Rᵢ è la relazione di preferenza dell’elettore i. Il candidato x* è un Condorcet winner se ∀y ≠ x*, la maggioranza degli elettori preferisce x* a y. Semplice, democratico, ovvio.

Jean-Charles de Borda (1733-1799), matematico e ingegnere navale che partecipò alla Guerra d’Indipendenza Americana, aveva un’altra idea. Nel 1770 la presentò all’Académie (in un discorso poi perduto) e nel 1784 pubblicò “Mémoire sur les élections au scrutin” descrivendo il metodo che porta il suo nome. Nel Borda count, ogni elettore assegna punti in base alla posizione: per n candidati, n punti al primo, n-1 al secondo, ecc. Vince chi accumula più punti totali. Questo sistema tiene conto di tutte le preferenze espresse, non solo di quella per il primo posto, ed è matematicamente equivalente a sommare le vittorie ottenute in tutti i confronti a coppie, ponderate in base all’intensità della preferenza.

Condorcet odiava il metodo di Borda. Nel suo Essai del 1785 scrisse: “Un celebre Geometra, che ha osservato prima di noi il difetto delle elezioni ordinarie, ha proposto un metodo… Questo metodo ha il vantaggio di essere molto semplice… ma questo metodo non è strettamente protetto da quel difetto.” Il problema critico: Borda count può eleggere un candidato che perde tutti i confronti testa a testa. Viola il criterio di Condorcet. È matematicamente incoerente con la volontà maggioritaria. Insomma, il meno peggio, non il migliore.

Ma Condorcet scoprì qualcosa di terrificante: anche il suo metodo era difettoso. Nell’Essai, Condorcet documenta il paradosso che porta il suo nome: preferenze collettive possono essere cicliche anche quando ogni individuo è razionale e transitivo. L’esempio classico:

Non esiste un Condorcet winner. La “volontà del popolo” è incoerente, contraddittoria, impossibile da definire. Questo non è un artefatto di preferenze irrazionali: ogni elettore ha preferenze perfettamente transitive e razionali. Il problema emerge nell’aggregazione.

La rivalità Condorcet-Borda fu personale e aspra. Condorcet liquidò Borda in una lettera del 1775 come “un buon Accademico” che “ha abbandonato la matematica per piccoli esperimenti”. Ciononostante collaborarono sul rapporto per il sistema metrico nel 1791. Quando Borda rispose alle critiche sulla vulnerabilità strategica del suo metodo, pronunciò la famosa frase: “Il mio schema è inteso solo per uomini onesti” – riconoscendo implicitamente che il voto strategico poteva manipolare il sistema.

L’Académie française adottò il Borda count dal 1795 al 1800. Poi Napoleone Bonaparte, diventato presidente dell’Académie, ne richiese la revisione. Il rapporto Daunou del 1801 criticò il metodo di Borda, vendicando parzialmente Condorcet (già morto da 7 anni). L’Académie passò ad altri sistemi.

La ricerca moderna ha rivelato prospettive sorprendenti. Donald G. Saari (UC Irvine), usando analisi geometrica, ha dimostrato che i componenti di un profilo di voti possono essere decomposti in “vettori base di Condorcet” e “componenti di inversione”: i primi influenzano solo confronti a coppie, i secondi solo metodi posizionali come Borda. Saari sostiene che il Condorcet winner è “seriamente difettoso” come standard. Mathias Risse ha risposto: gli argomenti di Saari non convincono i sostenitori di Condorcet; lo scopo dell’aggregazione è trovare la “volontà del popolo”, non soddisfare la neutralità matematica.

Il dibattito di 230 anni continua. La frequenza empirica del paradosso di Condorcet è sorprendentemente bassa: lo studio di Graham-Squire e McCune (2023) ha analizzato 185 elezioni RCV negli USA dal 2004 al 2022 e trovato solo 2 cicli di Condorcet (0,7%). Meta-analisi di Van Deemen (1998) su 265 elezioni reali ha trovato 25 cicli (9,4%, probabilmente sovrastimato). Kurrild-Klitgaard (2001) ha documentato uno dei pochi cicli di Condorcet in un grande elettorato: un sondaggio danese per il primo ministro preferito mostrò cicli reali quando si esaminarono confronti a coppie.

La rarità empirica è spiegata dalla teoria di Duncan Black (1948).

Il teorema di Arrow: dimostrazione matematica che la democrazia perfetta non esiste

Nel 1949, un giovane economista di 28 anni alla RAND Corporation di nome Kenneth Arrow stava lavorando a un problema che sembrava tecnico: come aggregare preferenze individuali in una funzione di benessere sociale coerente? La sua tesi di dottorato alla Columbia University, completata nel 1951 e pubblicata come “Social Choice and Individual Values” (Cowles Commission Monograph No. 12), conteneva un risultato che avrebbe sconvolto economia, filosofia, politica e matematica.

Il teorema dell’impossibilità di Arrow afferma che non esiste funzione di benessere sociale che soddisfi simultaneamente questi cinque assiomi apparentemente ragionevoli:

1. Dominio Universale Illimitato (U)

La funzione di aggregazione deve funzionare per ogni possibile combinazione logica di preferenze individuali. Non possiamo escludere a priori configurazioni “difficili”. Formalmente: il dominio di f include ogni lista ⟨R₁, R₂, …, Rₙ⟩ di n ordinamenti deboli di X (l’insieme delle alternative).

Ossia, questo principio dice: un sistema elettorale deve funzionare SEMPRE, qualunque siano i voti degli elettori. Non possiamo dire: “Il nostro sistema elettorale funziona bene… ma solo se gli elettori votano in modo ‘normale’”. Deve dare un risultato anche quando i voti sono distribuiti in modi strani o imprevedibili.

“Se non vogliamo richiedere alcuna conoscenza preliminare dei gusti degli individui prima di specificare la nostra funzione di benessere sociale, quella funzione dovrà essere definita per ogni insieme logicamente possibile di ordinamenti individuali”
– Arrow

2. Ordinamento Sociale Transitivo (SO)

Le preferenze sociali devono essere complete e transitive: per ogni x, y dobbiamo poter dire quale la società preferisce (completezza), e se x ≻ y e y ≻ z allora x ≻ z (transitività).

Ossia, se dico che preferisco la pizza al burger e preferisco il burger alla pasta, allora devo poter dedurre con certezza che preferisco la pizza alla pasta. Questo evita paradossi come quello di Condorcet e garantisce “l’indipendenza del percorso” – il risultato non dipende dall’ordine in cui consideriamo le alternative.

3. Principio Debole di Pareto / Efficienza Paretiana (WP)

Se ogni individuo preferisce strettamente x a y, allora la società deve preferire strettamente x a y.

Ossia, se tutti in un gruppo preferiscono la pizza al burger (nessuno escluso), allora il gruppo nel suo complesso deve dire “preferiamo la pizza al burger”. Non può dire “preferiamo il burger” o “siamo indifferenti” quando letteralmente tutti hanno detto che la pizza è meglio.

“Che la comunità dovrebbe preferire uno stato sociale a un altro quando ogni individuo lo fa… non è discutibile tranne forse su una filosofia di negare sistematicamente alle persone qualunque cosa vogliano”
– Arrow

È l’unanimità minima.

4. Indipendenza dalle Alternative Irrilevanti (IIA)

La preferenza sociale tra x e y deve dipendere solo dalle preferenze individuali tra x e y, non da preferenze che coinvolgono altre alternative z. Formalmente: se due profili ⟨R₁, …, Rₙ⟩ e ⟨R₁, …, Rₙ⟩ sono identici ristretti a {x,y}, allora f deve produrre lo stesso ordinamento sociale ristretto a {x,y}.

Ossia, se stiamo decidendo tra pizza e burger, conta solo cosa pensano le persone di pizza vs burger. Non deve importarci se qualcuno ama o odia la pasta – la pasta è irrilevante per questa decisione. Se tutti dicono “pizza > burger”, il gruppo deve preferire pizza a burger, indipendentemente dal fatto che alcuni mettano la pasta al primo posto, altri all’ultimo, o in mezzo.

Questo è il requisito più controverso. Richiede che il confronto tra A e B sia indipendente dall’esistenza di C. Ma nei sistemi reali, C può alterare strategicamente gli equilibri.

5. Non-Dittatura (D)

Non deve esistere un individuo i tale che per ogni profilo e ogni x, y, se i preferisce strettamente x a y, allora la società preferisce strettamente x a y.

Ossia, non ci deve essere un “dittatore” che decide per tutti. Non può esistere una persona tale che se lei preferisce la pizza al burger, automaticamente si decide che anche il gruppo preferisce la pizza al burger, qualunque cosa pensi il gruppo. Anche se 99 persone su 100 preferiscono il burger, non possiamo avere un sistema dove l’opinione della centesima persona vince sempre e comunque.

Il Teorema

Se |X| > 2 (ci sono più di due alternative), non esiste funzione di benessere sociale che soddisfi simultaneamente U, SO, WP, IIA e D.

La dimostrazione di Arrow procede mostrando che soddisfare U, IIA, WP e SO forza l’esistenza di un dittatore. La struttura è sottile e usa concetti di “insiemi decisivi”.

Definizione: Un insieme G ⊆ N di individui è decisivo per x su y se tutti i membri di G preferiscono x a y, allora x è socialmente preferito a y.

Ossia, G è un gruppo con “potere decisionale”: se tutti quelli in G dicono “pizza > burger”, allora il gruppo nel suo complesso preferisce pizza a burger, non importa cosa dicano tutti gli altri fuori da G. Ad esempio, se G sono 3 persone su 10, e questi 3 preferiscono la pizza al burger, allora si afferma che la società preferisce pizza a burger anche se le altre 7 persone preferiscono il burger.

Step 1 – Espansione della Decisività: Il lemma cruciale mostra che se un insieme è decisivo su una coppia, sotto IIA e dominio universale, diventa decisivo su altre coppie. Questo è il “field expansion lemma”.

Ossia, se un gruppo G ha il potere di decidere tra pizza e burger (quando tutti in G preferiscono la pizza, vince la pizza), allora quel gruppo automaticamente acquista il potere di decidere anche tra pizza e pasta, tra burger e pasta, e tra qualsiasi altra coppia di alternative. Il potere decisionale si “espande” da una coppia a tutte le altre coppie. È come un effetto domino: dai loro il controllo su una decisione, e finiranno per controllare tutto.

Step 2 – Contrazione degli Insiemi Decisivi: Se un insieme è decisivo, qualche sottoinsieme proprio è anch’esso decisivo. Per il Principio di Pareto, l’insieme di tutti gli elettori è decisivo. Ma allora, per contrazione iterativa, arriviamo a un insieme decisivo di cardinalità 1: un singolo individuo la cui preferenza determina sempre l’esito sociale. Un dittatore.

Ossia, partiamo sapendo che se TUTTI i 100 elettori preferiscono la pizza al burger, allora vince la pizza – è ovvio. Quindi il gruppo di tutti i 100 è “decisivo”. Ma il field expansion lemma ci dice che se un gruppo decisivo esiste, possiamo trovare un sottogruppo più piccolo che è anch’esso decisivo. Quindi da 100 persone passiamo a, diciamo, 50 che sono decisive. Ma se 50 sono decisive, allora anche un sottogruppo di quelle 50 è decisivo… diciamo 25. E poi 12. E poi 6. E poi 3. E poi 2. E infine arriviamo a 1 singola persona che è decisiva: se quella persona preferisce la pizza al burger, si dirà che la società preferisce pizza a burger, sempre. Questa è esattamente la definizione di dittatore. Abbiamo “stretto il cerchio” fino a trovare che il potere è concentrato nelle mani di una sola persona (virtualmente in questo paradosso).

Questo contraddice D. QED.

La dimostrazione originale di Arrow è complessa. Amartya Sen ha fornito esposizioni più chiare. Geanakoplos (2005) ha dato tre dimostrazioni brevi usando “votanti decisivi”. L’idea: considera il passaggio quando cambi le preferenze degli elettori uno alla volta; l’elettore il cui cambio fa cambiare la preferenza sociale è “decisivo”. Quel votante decisivo deve essere decisivo su tutte le coppie, quindi è un dittatore.

Ossia, immagina che inizialmente la società preferisce il burger alla pizza. Ora cambia le preferenze degli elettori una alla volta: prima cambi le preferenze di Mario (ora preferisce pizza a burger), ma la società ancora preferisce burger. Poi cambi quelle di Laura, ancora niente. Poi cambi quelle di Giovanni e BOOM – improvvisamente la società passa a preferire pizza a burger. Giovanni è quel “votante decisivo” – è lui che ha fatto pendere l’ago della bilancia. Ma qui viene il trucco: per IIA e field expansion, se Giovanni è decisivo per pizza vs burger, allora deve essere decisivo anche per pizza vs pasta, burger vs pasta, e qualsiasi altra coppia. Quindi Giovanni è un dittatore – la sua preferenza determina sempre l’esito sociale, su tutto.

Implicazioni filosofiche e pratiche

Arrow pubblicò prima in Journal of Political Economy (1950) poi nel libro del 1951. La facoltà della Columbia inizialmente dubitava che fosse “vera economia”. Arrow vinse il Nobel nel 1972. Il teorema è stato incluso nel Times Literary Supplement tra i 100 libri più influenti dal 1945.

William Riker (1982) in Liberalism Against Populism interpretò Arrow come prova matematica dell’impossibilità della democrazia populista – interpretazione controversa e pessimista.

Amartya Sen ha dedicato decenni a esplorare vie d’uscita. Nel 1970 dimostrò il “paradosso liberale paretiano”: conflitto tra il principio di Pareto e i diritti individuali minimi. In Collective Choice and Social Welfare (1970) si estende il framework ad utilità cardinali con confronti interpersonali, mostrando che richezze informazionali maggiori possono aggirare l’impossibilità. Sen sostiene che le preferenze ordinali sono informazionalmente insufficienti per una valutazione sociale soddisfacente.

Ossia, il Teorema di Arrow funziona perché usiamo solo ranking (ordinamenti): “Mario preferisce pizza > burger > pasta”. Ma questa informazione è troppo povera – non ci dice QUANTO Mario preferisce la pizza al burger. Se aggiungiamo più informazioni, possiamo sfuggire alla dittatura. Ad esempio, se Mario dice “la pizza mi piace 10, il burger 9, la pasta 3” e Laura dice “la pizza mi piace 7, il burger 2, la pasta 1”, ora possiamo sommare i punteggi e prendere decisioni più sensate. Oppure possiamo considerare informazioni interpersonali: “Mario sta morendo di fame, per lui questa scelta è vitale; Laura ha appena mangiato, per lei è indifferente”. Con queste informazioni extra, possiamo costruire sistemi non dittatoriali che rispettano gli altri assiomi. Arrow funziona solo perché ci siamo imposti di usare informazioni troppo limitate (solo gli ordinamenti).

Il Teorema di Gibbard-Satterthwaite (1973, 1975) generalizza: ogni sistema di voto non-dittatoriale con almeno 3 alternative è manipolabile strategicamente. Le violazioni di IIA creano opportunità per il voto strategico.

Arrow stesso disse: “La maggior parte dei sistemi non funzionerà male sempre. Tutto ciò che ho dimostrato è che tutti possono funzionare male a volte.”

Via d’uscita dal teorema: Duncan Black, il votante mediano, e il cambio di paradigma

Se l’impossibilità di Arrow vale per sistemi basati su ranking (ordinamenti), forse possiamo sfuggirla cambiando paradigma?

Duncan Black (1948), un economista scozzese che riscoprì indipendentemente il paradosso di Condorcet negli anni ’40, ebbe un’”illuminazione fulminea” nel 1942: se le preferenze sono single-peaked (a picco singolo), i cicli di Condorcet non possono verificarsi.

Definizione di Single-Peakedness: Le preferenze sono single-peaked rispetto a un ordinamento delle alternative se possono essere disposte lungo un asse lineare tale che ogni elettore ha un punto ideale (picco), e la preferenza decresce monotonicamente allontanandosi dal picco in entrambe le direzioni.

Esempio: Tre elettori scelgono aliquote fiscali:

Elettore 1 (liberale): 10% > 20% > 30%
Elettore 2 (moderato): 20% > 10% > 30%
Elettore 3 (socialista): 30% > 20% > 10%

Ordinamento: 10% – 20% – 30%. Ogni preferenza è single-peaked lungo questo asse.

Teorema del Votante Mediano (Black, 1948): Se le preferenze sono single-peaked rispetto a qualche ordinamento e il numero di elettori è dispari, allora:

1. Il voto a maggioranza produce preferenze sociali transitive (evita cicli di Condorcet)
2. Esiste un Condorcet winner
3. Il Condorcet winner è l’alternativa più preferita dall’elettore mediano

Questo fornisce una “via d’uscita” dal teorema di Arrow: single-peakedness viola il dominio universale illimitato (non tutte le configurazioni logicamente possibili sono single-peaked), ma è plausibile quando:

• Le alternative variano lungo una dimensione chiara (asse ideologico sinistra-destra, livelli di spesa, ecc.)
• Gli elettori concordano su questa dimensione anche se dissentono sulle posizioni ideali
• La deliberazione può indurre “meta-accordo” sulla dimensione rilevante

Quando le preferenze sono single-peaked, il voto a maggioranza soddisfa ordinamento transitivo, Pareto, IIA, e non-dittatura. Il sistema funziona.

Ricerca empirica di List, Luskin, Fishkin e McLean (2013) in Journal of Politics ha trovato evidenza che la deliberazione può indurre preferenze single-peaked: dopo una discussione strutturata, gli elettori convergono su dimensioni condivise di valutazione anche se le posizioni ideali differiscono.

Ma c’è un’altra via d’uscita, più radicale: abbandonare i ranking per i rating.

Arrow stesso, in un podcast del 2012, confermò che il suo teorema non si applica a sistemi di voto cardinali come approval voting o score voting. Perché? IIA nel framework di Arrow richiede che l’ordinamento sociale tra x e y dipenda solo da ordinamenti individuali tra x e y. Ma in sistemi cardinali, gli elettori assegnano punteggi indipendenti a ciascun candidato. Il punteggio che do a C non influenza i miei punteggi per A vs B. IIA è soddisfatto in senso cardinale.

Questo è il cambio di paradigma: invece di chiedere “preferisco A a B?” (ordinale), chiediamo “quanto approvo A?” e “quanto approvo B?” (cardinale). L’intensità di preferenza conta.

Approval voting e il futuro: sistemi basati su rating che sfuggono all’impossibilità

Nel 1978, Steven Brams e Peter Fishburn pubblicarono “Approval Voting” nell’American Political Science Review (72:831-847), introducendo formalmente un sistema elegantemente semplice: gli elettori possono votare per (approvare) quanti candidati vogliono; vince chi riceve più voti.

Nessun ranking. Nessuna gerarchia. Solo una divisione binaria: candidati “accettabili” vs “inaccettabili”. Sorprendentemente, questa semplicità conferisce proprietà matematiche potenti.

Proprietà matematiche di Approval Voting

Strategyproofness (resistente alla strategia): Brams e Fishburn (1978) dimostrarono che l’approval voting è a prova di strategia sotto assunzioni deboli: un elettore non ha mai incentivo a tradire il proprio candidato preferito dandogli un punteggio più basso. Puoi sempre votare onestamente per il tuo favorito senza danno.

Favorite Betrayal Criterion (Criterio del Tradimento del Preferito): Soddisfatto. Non devi mai abbandonare il tuo preferito per evitare un esito peggiore.

Monotonicity (Monotonicità): Soddisfatto. Aumentare il rating di un candidato non può mai danneggiarlo. IRV/ranked-choice viola questo: il ranking di un candidato più in alto può farlo perdere! Vedi Burlington, 2009.

Efficienza di Condorcet: l’Approval voting quasi sempre elegge il Condorcet winner quando esiste. Sotto il metodo plurality, il Condorcet winner spesso perde per frammentazione.

Indipendenza dalle Alternative Irrilevanti (versione cardinale): Soddisfatto. Ogni candidato è valutato indipendentemente; l’aggiunta o rimozione di candidati non forza ricalcoli strategici dell’intero ordinamento.

Caratterizzazioni assiomatiche: Una ricerca del 2022 fornisce otto caratterizzazioni diverse di approval voting usando assiomi come consistenza, strategyproofness, accordo con opinioni maggioritarie, indipendenza da cloni e invarianza sotto rimozione di alternative inferiori.

“L’approval voting è il più sincero e il più strategyproof di tutti i sistemi di voto non-ranked.”
– Brams e Fishburn (1978)

Implementazioni reali

Fargo, North Dakota (2018-2025): Adottato via referendum il 6 novembre 2018 con il 63,5% di approvazione dopo che un’elezione del 2015 con 6 candidati vide il vincitore con solo il 22% dei voti. Prima elezione giugno 2020. Risultati: entrambi i vincitori ricevettero oltre 50% di approvazione; media 2,3 approvazioni per scheda. Elezione 2022: sindaco eletto da 7 candidati con ~65% di approvazione; media 1,6 approvazioni per sindaco, 3,1 per commissari. Terminato aprile 2025: Il governatore Kelly Armstrong firmò HB 1297 che bandisce approval voting e RCV in North Dakota.

St. Louis, Missouri (2020-presente): Proposizione D approvata il 3 novembre 2020 con 68,1% (poi riportato 70%). Sistema: primarie non-partisan con approval voting; top due avanzano al generale. Prima elezione marzo 2021: 4 candidati sindacali, media 1,6 approvazioni per scheda. Tishaura Jones vinse con il 57% di approvazione e divenne la prima sindaca afroamericana di St. Louis. I sondaggi mostrarono che il 74% dei residenti neri erano più propensi a votare sotto approval voting.

Nazioni Unite – Selezione del Segretario Generale: Il Consiglio di Sicurezza usa una forma di approval voting (score voting) in straw poll dal 1981. I membri votano “incoraggia”, “scoraggia” o “nessuna opinione” per ogni candidato. Voti rossi (membri permanenti) indicano potenziale veto. António Guterres vinse tutti e sei gli straw poll nel 2016, con 13 “incoraggia”, 0 “scoraggia”, 2 astensioni.

Società accademiche: Mathematical Association of America (1986), American Mathematical Society, American Statistical Association (1987), Institute of Management Sciences (ora INFORMS, 1987), IEEE (1987-2002), Society for Social Choice and Welfare (1992) – tutte usarono approval voting per decenni, validando la viabilità pratica.

Score Voting e Bayesian Regret

Score voting (range voting) generalizza approval: gli elettori assegnano a ogni candidato un punteggio numerico in un range (0-5, 0-9, 0-10, ecc.). Vince chi ha punteggio medio/totale più alto. Approval è il caso speciale con solo 0 e 1.

Warren D. Smith condusse simulazioni massicce (2000-2009) comparando i sistemi di voto usando Bayesian Regret (BR) – misura della perdita di utilità sociale attesa dall’uso di un particolare metodo di voto. BR è normalizzato 0-1: 0 = sistema perfetto (elegge sempre il candidato socialmente ottimo), 1 = vincitore casuale.

Risultati (Smith, 2023, Constitutional Political Economy): Score voting ebbe il BR più basso tra tutti i metodi comuni testati, attraverso 720 combinazioni di parametri:

• Numero di elettori e candidati variabile
• Diversi generatori di utilità
• Quantità di ignoranza degli elettori
• Elettori onesti vs strategici (o qualunque mix)

La superiorità di score voting si mantenne in tutti i 720 scenari testati. Quando gli elettori votano strategicamente, score voting approssima bene approval voting, che fu “l’unico metodo di voto mai intenzionalmente progettato per essere strategy-resistant”.

Evidenza biologica: Le api mellifere usano una forma di score voting per selezionare nuove posizioni per l’alveare – un sistema raffinato in 10^8 anni e 10^16 elezioni individuali. Comportamento simile in alcune specie di formiche. Questa validazione evolutiva indipendente è notevole.

STAR Voting: il discendente sofisticato

STAR (Score Then Automatic Runoff) fu ideato nell’ottobre 2014 da Mark Frohnmayer durante la prima Equal Vote Conference a Eugene, Oregon. È un sistema ibrido progettato per affrontare gli incentivi strategici presenti nello score voting tradizionale, mantenendo al contempo i benefici dei sistemi basati su valutazioni (rating-based).

Meccanismo:

1. Round di scoring: Gli elettori danno 0-5 stelle a ogni candidato
2. Runoff automatico: I due candidati con punteggio più alto avanzano; vince il finalista che fu valutato più alto su più schede

Proprietà: Soddisfa la monotonicità e la risolvibilità; non soddisfa il criterio di maggioranza (un candidato con la maggioranza assoluta dei primi posti potrebbe non accedere al runoff), ma mostra un’elevata accuratezza.

Ricerca peer-reviewed: Lo STAR voting ha un’accuratezza superiore rispetto ad Approval o RCV, pur essendo altamente resistente al voto strategico. Le simulazioni di Voter Satisfaction Efficiency condotte da Jameson Quinn (2017) mostrano che STAR raggiunge un’accuratezza del 98% nell’eleggere il vincitore corretto anche in competizioni con molti candidati, contro l’85–90% di RCV e il 75–80% del plurality.

Il confronto definitivo: Rating vs Ranking

Sistemi di Ranking (Ordinali):

• Gli elettori ordinano candidati: 1°, 2°, 3°, ecc.
• Solo l’ordine relativo conta
• Esempi: Plurality, Borda, instant-runoff/RCV, metodi di Condorcet
• Soggetti al teorema di Arrow

Sistemi di Rating (Cardinali):

• Gli elettori assegnano punteggi indipendenti a ogni candidato
• L’intensità di preferenza è espressa
• Esempi: Approval (binario), score voting (0-5, 0-10), STAR
• Sfuggono al teorema di Arrow

Espressività: I rating comunicano sia ordine che intensità. A:100%, B:99%, C:0% mostra preferenza forte contro C ma quasi-indifferenza tra A e B. Ranking A>B>C non comunica se A≫B o A≈B.

Effetti spoiler e frammentazione dei voti: I sistemi di rating eliminano o riducono drasticamente questi effetti. Gli elettori possono supportare multipli candidati simili senza penalità. Nessuna frammentazione tra candidati simili.

Center-squeeze vs Center-expansion: Plurality e RCV tendono a “spremere” fuori i candidati centristi che hanno ampio supporto come seconde scelte ma pochi primi posti (center-squeeze; vedi Burlington 2009). Approval e score possono invece favorire leggermente i candidati collocati in centro (center-expansion). STAR è progettato per evitare entrambi gli estremi.

Voto strategico: Sotto voto strategico, entrambi approval e score convergono a comportamento approval-like, ed entrambi incoraggiano onestà più di plurality o Borda.

Gibbard-Satterthwaite dimostra che tutti i sistemi non-dittatoriali con 3+ alternative sono manipolabili, ma i sistemi di rating minimizzano gli incentivi strategici.

Conclusione: vivere con l’impossibilità

La storia dei sistemi di voto è una tragedia illuminista: la ricerca razionale della democrazia perfetta si scontra con limiti matematici ineludibili. Condorcet e Borda litigavano nel 1785 su quale sistema fosse “corretto”, ignari che Arrow avrebbe dimostrato 166 anni dopo che entrambi cercavano qualcosa di impossibile.

Ma l’impossibilità non è capitolazione. È chiarezza. Sappiamo ora esattamente quali compromessi esistono. First-past-the-post massimizza la semplicità al costo di una frammentazione catastrofica e una rappresentazione distorta (gli USA). Instant-runoff riduce ma non elimina gli spoiler effects, al costo di indurre center-squeeze e non-monotonicity. I metodi di Condorcet rispettano la volontà maggioritaria ma possono produrre cicli. Borda considera tutte le preferenze ma viola il criterio di Condorcet ed è manipolabile.

I sistemi basati su rating – approval voting, score voting, STAR – rappresentano non un compromesso ma un cambio epistemologico. Sfuggono al teorema di Arrow valutando candidati indipendentemente piuttosto che ordinarli gerarchicamente. Le implementazioni a Fargo e St. Louis, sebbene limitate e (nel caso di Fargo) terminate prematuramente da legislazione statale, hanno mostrato viabilità pratica: alta soddisfazione elettorale (62-74%), elezione di candidati ampiamente supportati da molte fazioni, nessun problema implementativo maggiore.

La ricerca di Warren Smith su Bayesian Regret attraverso 720 scenari diversi fornisce l’evidenza computazionale robusta che lo score voting minimizza la perdita di utilità sociale. Le caratterizzazioni assiomatiche del 2022 confermano proprietà teoriche superiori. Le adozioni da società accademiche prestigiose (MAA, AMS, ASA) e organizzazioni internazionali (Nazioni Unite) validano l’approccio.

Eppure la resistenza persiste. Diciassette stati USA hanno vietato RCV tra 2022 e 2025; North Dakota ha vietato l’approval voting nell’aprile 2025 terminando l’esperimento di Fargo. Il conservatorismo istituzionale e gli interessi di parte creano inerzia. Il Regno Unito votò contro Alternative Vote nel referendum del 2011. Molteplici referendum canadesi su riforma elettorale sono falliti.

Il paradosso finale: sistemi elettorali difettosi perpetuano sé stessi perché chi vince sotto di loro non ha incentivo a cambiarli. La riforma elettorale è una questione di secondo ordine che raramente mobilita elettori quanto economia o sicurezza, anche se determina chi decide su tutto il resto.

Duncan Black dimostrò che sotto single-peakedness, la democrazia funziona. List, Luskin, Fishkin e McLean (2013) mostrarono che la deliberazione può indurre single-peakedness. Forse il problema non è il voto ma cosa precede il voto: discussione, informazione, formazione di preferenze. Un sistema di voto perfetto applicato a preferenze irrazionali o manipolate non salva la democrazia. Un sistema imperfetto applicato a preferenze informate e deliberate può funzionare sorprendentemente bene.

Arrow non distrusse la democrazia; la demistificò. Non esiste l’ideale platonico, nessuna formula magica. Esistono i compromessi, comprensibili matematicamente, navigabili pragmaticamente. La conoscenza di questi limiti è maturità intellettuale. Continuiamo a votare non perché abbiamo risolto l’impossibilità, ma perché abbiamo accettato che la perfezione matematica non è un prerequisito per il progresso politico. La democrazia non è un teorema da dimostrare ma un sistema da migliorare iterativamente, vincolo dopo vincolo, paradosso dopo paradosso, con la matematica come guida ma non come giudice finale.

Bibliografia

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Casi studio ed esempi storici

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Sistemi elettorali nel mondo

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39. Electoral Reform Society (UK) (2025). “How many countries around the world use proportional representation?” Aggiornato gennaio 2025. https://electoral-reform.org.uk/
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Enciclopedie e risorse online

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48. Electowiki – Wiki completa su teoria del voto: https://electowiki.org/
49. Center for Election Science: https://electionscience.org/
50. Equal Vote Coalition – Risorse STAR voting: https://www.equal.vote/ e https://www.starvoting.org/

Studi comparativi e analisi qualità democratica

51. Democracy Index 2023. The Economist Intelligence Unit.
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Fonti news e analisi elezioni specifiche

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56. UK in a Changing Europe: “Bloc politics: a split Remain vote may not equal a large Conservative majority.” https://ukandeu.ac.uk/bloc-politics-a-split-remain-vote-may-not-equal-a-large-conservative-majority/

Implementazioni e dati ufficiali

57. Ballotpedia – Tracking sistema elettorale USA. https://ballotpedia.org/
58. British Election Study – Dati elezioni UK e pattern Brexit.
59. Burlington, VT – Risultati elettorali ufficiali: https://www.burlingtonvt.gov/
60. MIT Election Lab – “Instant Runoff Voting” ricerca ed analisi.